【科普】AOE的范围伤收益比单体更优吗？

somejian

随着刀扇被重砍，暗影套的纯飞刀打法也越发令人期待。
纯飞刀打法缺乏AOE，范围伤是一个很好的补充手段。
然而也有人没有经过仔细计算，直觉的认为AOE对范围伤利用更优。
究竟真相如何，请容我用数学解析一下吧。

结论放前面：
1. 范围伤增伤比例期望，只与怪物平均密度相关，与伤害方式无关。

2. 范围伤害技能（非多点伤害技能）产生的范围伤伤害值期望，相关于怪物平均密度的成长性更好。
很容易理解，平均密度增长，技能本身的总伤害增加，同时范围伤增伤比例期望增加，是二次增长。

3. 范围伤增伤比例的方差，怪物平均密度一定时，AOE的更小，即伤害更稳定。


计算：
对怪物编号，1,2,...,n

设，以每个怪为中心，周围 10码有怪物数有：
N1,N2,...,Nn
范围伤比例设为 A%

考虑以下几个技能：
一：单体伤害，伤害值 D1。
假设命中 1号。
未触发范围伤时，伤害 D1
触发时，范围伤对单个目标伤害 D1*A%
影响目标数 N1
增加伤害： D1*A%*N1
计入范围伤触发率 20%，
增伤期望： 20%*D1*A%*N1
增伤比例： 20%*A%*N1

二：小范围群体伤害，对每个目标伤害值 D2。
假设命中 1号、 2号、 3号。
未触发范围伤时，伤害 D2*3
触发时，范围伤对单个目标伤害 D2*A%
命中这 3个目标时，触发范围伤，分别会影响：
N1, N2, N3 个目标。
计算增伤期望为： 20%*D2*A%*N1 + 20%*D2*A%*N2 + 20%*D2*A%*N3
增伤比例： 20%*A%*(N1+N2+N3)/3

三：大范围群体伤害，对每个目标伤害值 D3。
假设命中 1号、 2号、…… 10号。
未触发范围伤时，伤害 D3*10
触发时，范围伤对单个目标伤害 D3*A%
命中这 10个目标时，触发范围伤，分别会影响：
N1, N2, ..., N10 个目标。
计算增伤期望为： 20%*D3*A%*N1 + 20%*D3*A%*N2 + ... + 20%*D3*A%*N10
增伤比例： 20%*A%*(N1+N2+...+N10)/10

可以看出，范围伤的增伤比例，只和范围伤属性本身与Nn的平均值相关。
Nn的平均值，显然是和怪物密度直接相关。
在怪物平均分布的情况下，更大的范围不会带来Nn平均值的增加。


再考虑增伤比例的方差。
考虑命中 n个怪的技能。
由于命中 i号怪并触发范围伤，是相互独立的。
所以方差也可以求和。
对于 i号怪产生的范围伤相对于整体伤害增伤比例方差：
20%*(Ni*A%/n-20%*Ni*A%/n)^2 + 80%*(0-20%*Ni*A%/n)^2 = 20%*80%*(Ni*A%/n)^2
对 i从 1到 n求和：
20%*80%*(A%/n)^2*∑(Ni)^2
假设 (Ni)^2 的平均值与n无关，记为M，则：
方差 = 20%*80%*(A%)^2*M/n
即 n越大，方差越小。


引用&参考：
自引用，在武大的杨弓洗法帖的回复：
http://bbs.d.163.com/forum.php?m ... 333&fromuid=1204830
对范围伤数学期望的计算（不含方差）。

参考 kooangel 在 g大帖子的回复：
http://bbs.d.163.com/forum.php?m ... 985&fromuid=1204830
增加了对方差的具体计算。

somejian

武青彤 发表于 2015-12-5 13:09
看了你和g大的帖子，感觉可能会有些人简单的觉得单体技能打法更好。
我个人的观点：
1.单体技能打法实战 ...

这两点都是基于拉怪和聚怪，这两项在理论中不好模拟，但确实是实战中带来质变的因素。
要单体技能可以在这样的成长性面前占据明确的优势，确实现在的倍率还差点。

我把结论中的“成长性”加红了，以免大家忽略此项。

somejian

雪暴君 发表于 2015-12-5 13:50
这里其实是有点小疑问的，放到实际游戏环境中来，宏伟秘境的情形实质上就是一个对伤害的利用率问题，虽 ...

具体到范围伤的问题，这个“不可理论计算”的值，就是怪物密度。
通过操作和辅助技能拉怪、聚怪，可以实现对怪物密度的改变。
不同的技能搭配，不同的地形，不同的怪类型，都会对拉怪、聚怪产生影响。

所以，“秘境只要平均怪物密度一致，其增伤期望就是一致的”没错，是佯谬。
实战中难以体会，只是因为大秘怪物密度并非都一样，
甚至推进度过程中，怪物密度时刻在变化。
如我第二条推论出的“成长性”，在高密度时，AOE+范围伤收益显著，所以有错觉……

顺便，实际上不同地图怪物密度确实不一样啊…………

somejian

evidently 发表于 2015-12-6 18:58
没说到点子上，范围伤具体要堆到多少收益最大？需要花几条词缀？在哪些装备上找？

怪密度越大，范围伤收 ...

因为BD和打法不同，很难有确定的结论。

收益率的计算是这样的公式：
20%*增加的范围伤%*N/(1+20%*原范围伤%*N)

N是平均怪物密度，这个没办法给出确切值，这就直接导致了范围伤收益难以量化。

但可以看出，范围伤和其他增伤一样，有收益的自递减。
而且和怪物密度关联大，密度越高收益越高。

所以，我只能说一下什么情况下一定不追求范围伤：
1. 缺乏聚怪手段的时候，范围伤收益极低
2. 和打法的关键词缀竞争时，例如需要达成无缝的CDR等

其他的，可以自己估一个 N 值做计算，并用实战检验一下结果。

somejian

Ficreal 发表于 2015-12-7 13:03
个人观点“单体还是AOE”这个变量与“有效平均怪物密度”的高低联系其实挺小的，事实上对这一因素影响最 ...

分析得很对！

你提的影响方式1，显然是直接影响了怪物密度。
方式2、3则是影响了“权重”，
只在怪物密集的时间/地点输出，就意味着你眼中的这场大秘比别人看来更密集。

和范围伤发生化学反应的，不是AOE，而是打法中的聚怪、拉怪、找怪堆。
范围伤的利用率，就应该联系 BD/打法 ，而非伤害技能。

somejian

六日心 发表于 2015-12-7 15:50
这个探讨如果转化为理论模型其实就是是10x10cm长方形，600个点，随机移动。从长方形外以固定频率随机打击 ...

你没有区分“收益率”和“收益量”的概念。

去掉无关紧要的随机部分和边界部分，简化一下模型：
任何一个点，半径0.5cm内（约0.79的面积）有其他 4个点。
2X2范围内，有 24个点。

按照你的计分方式：
单发单体得分： 1+4 = 5
单发AOE得分： (1+4)*25 = 125

现在，去掉范围伤，看看初始情况：
单发单体得分： 1
单发AOE得分： 25

而范围伤提供的增伤比例：
单体 = 5/1 = 5
AOE = 125/25 = 5

增伤额度：
单体 = 5-1 = 4
AOE = 125-25 = 100

所以，差距在于原本伤害就不平等，而不是利用率问题。