[丧心病狂]“数量级”与“受罚者之灾”（不断完善ing）

JustinFan

【目录】


1楼：伸手党请看结论汇总（不需要数学基础）

2楼：理论党请看“数量级”与具体计算细节（一点点高等数学）

3楼：丧心病狂党请看：“精确”证明，当boss时间趋近于无限，前后两层boss击杀时间比趋近于1.0817。（有一点难度的数学分析内容。）


［前言］
最近有人问已知某层boss击杀时间，“估算”下一层boss或者下下层boss的击杀时间之类的问题。想要做到“估算”，那么要求的数据就不能太多，而且要做到尽量的精准。

通过对“总输出函数 和 大秘境某层boss击杀时间数列 极限”的研究，可以做到：

在不知道几乎任何队友数据的情况下，DPS，buff，build，宝石，精确估算下一层秘境boss的击杀时间，且不需要Execl 表格繁琐计算。


精确的含义在于，越是高层秘境比如单人70层＋，多人75层＋，越是精确。

研究反映了佩戴“受罚者之灾”导致总输出函数2次的本质。后续的诸多结果，也都是由此“本质”推演而出。

［伸手党结论（理论研究党直接翻阅至二楼，过程比结论重要）］


1. Boss击杀时间估算：已知你某高层boss击杀时间是 N秒，那么下一层同样boss，你的击杀时间将会是 1.0817*N秒。
例子：比如你70层boss的击杀时间是，1分40s＝100s，那么下一层71层你的击杀时间将至少是108s。72层你的击杀时间就是 1.0817^2 * 100 = 117s.

以上估算结论，适用于几乎任何组队配置，包括未来可能的组队配置，核电，锤子等等，完全适用。感兴趣的话了，你可以自己实测验证。


2. 单刷时，随时间不变的独立增伤技能（非攻击速度相关）宝石收益（如果记录为 S％），将会随着boss击杀时间的延长而降低。最终 收益将会变成 sqrt(1+ S%)-1.

例子1:    35％独立增伤的囚者宝石，在boss战时候100s以上的收益接近于：sqrt(1+35%)-1 = 16.7%

例子2:    （如此计算同样适用于，蛮子残酷，dh先发制人的收益）

蛮子残酷的等效收益是 9.375%，那么在boss战使用时，最终受益将会变成 sqrt(1+9.375%)-1 = 4.583%

注明：虽然残酷的描述是30血量增伤40%，如果换成 全程增伤 9.375%，那么，结果仍然一致，这是令人惊讶的。（如果dh和蛮子组队，蛮子带残酷，dh带先发，那么两者最后的收益都要略高于sqrt(1+ S%)-1）


以上计算均通用于全职业。简单快捷。




【后记】


其实起名丧心病狂，嗯来源于三楼最后的那个证明，一直没敢post出来。。。确实可能对于大众丧心病狂了点。。。不过，也许这就是数学的魅力吧。能在烦杂中找到那个不变量。。。

JustinFan

破碎苍穹 发表于 2015-10-13 14:07
我不知道你在哪个时区，搞不好现在就已经半夜，不去睡觉跑这儿来计算这些玩意.......
在 卡顿 误操作 各种 ...

“卡顿 误操作 各种随机数等无穷变量的影响下你的这些结论很容易失。”

擦。。。你果然没看懂。。。

就是要让结果“不容易失效”，我才这么搞的。。。

随机这个东西。。你可以理解为，对结果作用“无效”。具体我就不解释了。你要是耐心能看懂自然知道why。

JustinFan

抱歉~ 发表于 2015-10-13 14:18
老猫已疯，先顶在看，最近都在玩和尚~

对你来说不难。。。最基本的高等数学知识而已。。。帮我check一下。。。提点意见。

JustinFan

破碎苍穹 发表于 2015-10-13 14:22
好好好，算你说的对，我在你那无与伦比的数学天赋面前甘拜下风，我想说的其实是，玩家关心的其实是“无 ...

3. 个人冲榜模式，无情暴虐的收益，在高层boss战中，收益接近于：1/sqrt(0.7+0.3/1.4)-1 = 4.583%




我擦，我要放多大你能看见呀。。。数据不是都用颜色字体了吗？

JustinFan

抱歉~ 发表于 2015-10-13 15:47
结论方面，估计还是很合理的！比如70层BOSS用时60秒，那么可以通过公式算出来72层的BOSS用时就在70.2秒与82 ...

随着计算层数的增加，误差会越来越大。

基本上就是冲榜极限的时候用比较方便。差个2-3层，大致有个了解就ok。

后面写的东西，不是给新手看的。

你说的挺好的，搞一个计算器，或者真正把公式列出来，会更加的好一些。另外我还应该说明一下计算的结果会比较实际偏低。

JustinFan

抱歉~ 发表于 2015-10-13 15:47
结论方面，估计还是很合理的！比如70层BOSS用时60秒，那么可以通过公式算出来72层的BOSS用时就在70.2秒与82 ...

估算区间不是一个好事，基本上上限是没用的。。。我写那个主要是帮助大家理解函数性质。都是简单的推理。。。我知道耐心看下去的人很少。。。lol

反正高层肯定会很接近于计算数值，基本上可以保证误差低于观测误差就行。

JustinFan

抱歉~ 发表于 2015-10-13 16:04
计算器很好做，我去做一个吧。至于文风，我有个建议就是分楼写。第一楼只写结论给伸手党，第二楼贴点计算 ...

我留着那部分故意放出来的。。。我原来写东西都是不留痕迹，直接放结论。。。主要是这个吧，思路是我提供的，具体其实可以用到很多其他方面，就写详细点。。。

面向对象不是伸手党。。我还是听你的把那个分开来吧。。。不过我估计也没什么区别。。。现在这个节骨眼上，大家关心的只有核电。。。呵呵。。很少人关心理论研究了。。写出来后面有人就能用上了。

JustinFan

抱歉~ 发表于 2015-10-13 16:13
这个结论核电也是适用的啊，所以我才想做一个全职业通用的BOSS计算器。写完之后也会发到天空寺院去看看效 ...

对的，通吃加不用知道几乎任何数据。适用几乎所有组队状况，这是我的初衷。你去新催发更好。大家都能看到。计算下限就够了。而且这本身也是极限。

JustinFan

小狼啊小狼啊 发表于 2015-10-13 20:12
数量级……不就是阶么

这儿所说

A_i是个常值，某人初始dps而已。总输出是dps平均值乘输出时间，会有1/2出来。第四赛季宝石的总输出函数是关于t的二次函数。性质由最高阶项决定，当时间充分大。求极限没有估算去，就是极限，第一步连续化假设是必须的，否则无法估计了就。
细节不是特别重要，就是二次函数这个你肯定懂。看下10ed你用帧数计算结果的极限就是4.88。

知道是二次函数，我就要通过这个信息得到 第n层boss击杀时间这个序列的性质，得到前后两项的比的平方趋近于1.17。后面的结论是这个idea的推广而已。不难，就是论坛里发公式写的人蛋疼。

JustinFan

骑着猪飞奔 发表于 2015-10-13 19:42
个人觉得各位实战抑或理论的研究者们总是值得尊敬的，先不论研究数值的精确性跟与实战的贴合程度，冲榜 ...

没忘。。。发出来找人挑错呢，主要是思路比结论重要。当然这个结论是比较数学化，完善后我自然会写上伸手党的结论的。

JustinFan

抱歉~ 发表于 2015-10-13 16:04
计算器很好做，我去做一个吧。至于文风，我有个建议就是分楼写。第一楼只写结论给伸手党，第二楼贴点计算 ...

“本计算器原则上适用于所有职业，但考虑到有些特殊技能的影响，如残酷，先发制人等，还需要若干次修改才能达到全职业通用的目的。”




1. 你尝试解释一下这个现象吧，反正你check过我的计算是对的。


关于残酷，先发制人的收益计算。


事实上都适用于 “时间不变”等效独立增伤最后的实际收益。


你可以计算 sqrt(1+9.375%)-1 = 4.583.


关于先发制人，你有同样的结论。


所以我说的 sqrt(1+S%)-1 这个极限，基本适用于所有非攻击速度加成型增伤技能。


你要用你的方法改到计算结果里也是很方便的，你看下我的计算过程，copy一下，后面的东西就是excel的事情了。



2 .你的计算器里的东西，应该是适用于某些特定build。要考虑的因素还是挺多的，


如果要用受罚者，增伤的话了，ICD是一个砍，你得确定ICD卡到多少帧，基本这个是按照ICD走的。如果是1带3这种，挺好说的，只有电僧带。


如果是两个人，三人或者任意组合，比如旋风蛮+dh这种，虽然都带宝石，但是输出的差异，宝石等级的差异，都会导致结果的偏差。其实你需要的是4个人每个人的输出比例+每个人的赛季宝石等级以及攻击速度（每秒实际的增伤数值）。并不能说适用于全部职业组队。应该说是，更加适合单人，或者单人DPS带受罚者类的build。


要用精确数据的话，就得估算到位，最好能加上每个人的DPS比例+秒增伤，这样的估算，就非常精准了，n+m层真是随便算。

JustinFan

神秘之力凯恩 发表于 2015-10-14 00:59
我想知道f(t) = t + t^2这个公式怎么得出来的，这个没搞懂，后面的都看不下去。

举例子 说明 一个二次函数在零点 于无穷远处性质 可以用对应函数描述

JustinFan

张珂#3470 发表于 2015-10-14 00:43
作为一个数学系研一学生，我看到洛必达法则的时候还是小小激动了一下。数学分析三年多没碰了，都 ...

其实不难吧，挺简单的。呵呵

JustinFan

sheepsion 发表于 2015-10-14 01:12
简单的说带上宝石后，所有的增伤最后都会趋进于那个计算出来的值，那个值为极限
但是有些不一样的东西，比 ...

比如武器攻击速度，其收益这个就不能用这套了。这套适用性很广，即便buff不是全程覆盖，即便改变攻击速度的buff不是不是全程覆盖。10ed充分长时间的收益就那么多4.88%，不会因为你输出手法等其他几乎所有随机因素影响。那这就是受罚者作用机制的本质。

JustinFan

【前言：伸手党的结论我明天再放】

本文回答了大家最为关心的如下问题（基本适用于全职业）：

1. 已知第n层大秘境boss击杀时间，较为精确的估算第n＋m层boss击杀时间。（组队，个人均适用）

2. 时间不变增伤技能的实际收益计算。［0，＋\inf］

3. （野蛮人）无情暴虐的实际收益计算。［0，＋\inf］

利用“数量级”计算的优势：

1. 简单快捷，计算及其方便，亲民，无需知道，队友以及自己的诸多数据。

2. 精度有保障。

3. 对于收益的描述清晰易懂，方便计算冲榜极限层数。

4. 对今后关于受罚者的联动收益计算有较大的指导意义。

5. 可以从一定程度上替代繁琐的Excel表格计算。
More Important, 我希望有更多的人能参与到研究中来，其实暗黑中的数学，没有那么复杂。相信“大道至简”。所以文章的风格偏向于“授人以渔”，毕竟我时间也不是很多，后期之秀们，肯定能将哈山继续发扬广大，带上巅峰。
文章如有谬误，恳请批评指正。

【结论汇总】

1. 个人或者组队（组队dps佩戴受罚者，其余成员无要求）的前提下，大秘境高层，第N＋1层boss的击杀时间接近于第N层的 1.08167 = sqrt(1.17).

注明1：以上比例，随着大秘境boss血量的增加 单调递减 从 1.17 单调递减趋近于 1.08167.

2. 个人冲榜模式，时间不变的增伤技能（设其等效独立增伤为 S％），其在高层boss战时的收益趋近于 sqrt(1+S%) -1.

注明2:   比如35%增伤的囚者对于旋风流在70层＋大秘境的收益为 16.2%。介于囚者前期覆盖率的问题，囚者在2.3赛季已被旋风流淘汰。

注明2:   等效独立增伤的收益，随着大秘境boss血量增加，单调递减，从S％ 趋近于 sqrt(1+S%) -1。

3. 个人冲榜模式，无情暴虐的收益，在高层boss战中，收益接近于：1/sqrt(0.7+0.3/1.4)-1 = 4.583%

注明3: 无情暴虐的收益，随着大秘境boss血量的增加，单调递减，从 1/(0.7+0.3/1.4) = 9.375% 趋近于 4.583%
注明4: 我很久以前算的那个结果是错的。。忽略就行了。

［理论阐述与介绍］

（我将尽量避免使用专业术语）
暗黑3中，有很多数量级。比如：大秘境boss血量的增长，是1.17倍，指数型增长。佩戴第四赛季受罚者之灾，对于大秘境boss的秒伤害是线性增加，总伤害是2次函数。
数量级用于描述函数在变量趋于无穷大，或者趋近于0的性质。比如函数：f(t) = t + t^2,  你可以设想f(t) 就是在t时间内的总输出。当t趋近于0， 函数的性质 趋近于 f(t) ~ t, 当 t 趋近于 无穷大， f(t) ~ t^2.


第四赛季宝石的总输出是关于时间的二次函数，可以通过“数量级”来“估算”一些相关结果，而同时保证一定的精度。你根本不需要去统计队友的dps，队友的攻击方式。

注明：误差函数实际上跟队伍中诸多数据有关。当然计算实际误差的最好方式，其实还是掐表多次统计计算。实际意义不是很大。


［理论细节1: 关于“连续化”建模的假设］

暗黑三中的人物输出，其实是分段“根据使用技能的帧数”式的输出。受罚者之灾的增加伤害，也是攻击一次，增加一次（准确说是：ICD判定机制）。从这个角度看，秒输出函数其实是一个阶梯函数（不连续）。总输出函数，就是这个阶梯函数下方的面积。

想要计算这个面积，你可以尝试用Excel表格，精确到帧数的计算得到。但过程相当繁琐，尤其是对于组队，有的人用宝石有的人不用，相互之间的dps差异等等，都不清楚。要想做到对总输出函数的精确描述，那是非常困难和复杂的。（杀鸡为何费牛刀？）

阶梯函数下方的面积事实上，可以用线性函数的积分逼近。而这种逼近，就是Riemann积分定理的本质：当划分足够细致，上下和的差距（误差）趋近于“0”。事实上，我们的计算之少都是1分钟以上boss战，这种分段都是上百个分段。用线性函数描述dps变化是合理的。

［理论细节2: 关于“估算”大秘境boss的击杀时间］

“估算”这是一门艺术，估计，其实就是一个数学建模拟合的过程。一个数学模型好不好，不完全在于拟合的是否精确，而在于，其拟合的方式，有理有据，通俗易懂，便于计算。数学的本质也正是一种“大道至简”。

假设队伍里有 4个成员，初始DPS 分别为：A_1,..., A_4,   DPS 时间增长率，K_1,..., K_4. （K_i 可以为0， 代表不佩戴受罚者）

第 i 个人的总输出：t * (A_i + A_i*K_i * t / 2 ) =  A_i * t + A_i*K_i /2 * t^2

所有人的总输出 H(t)，为以上求和：

H(t) = C * t + D* t^2

其中： C= sum A_i ,   D = sum A_i * K_i /2

可以见得，C 和D 之中，包含了队伍里相当多的人物信息。

假设 第 n 层 大秘境的boss血量为：M(n),  团队击杀时间 为 t_n

我们有：

M(n) = H (t_n)

进而得到：

1.17 = M(n+1)/ M(n) = H(t_{n+1}) / H(t_n) = (C * t_n+1 + D* (t_n+1)^2 ) / (C * t_n + D* (t_n)^2)

现在计算 t_n+1 / t_n (代表前后两层boss击杀时间的比例):

当t_n -> \inf 时，左右两边求极限

LHS ＝ 1.17 ＝ (t_n+1 / t_n )^2 = RHS

得到：lim t_n+1 / t_n ＝sqrt（1.17）

当t_n -> 0 时候，左右两边求极限

LHS ＝ 1.17 ＝ (t_n+1 / t_n )= RHS

得到：lim t_n+1 / t_n ＝1.17

（你可以利用L'Hospital法则计算，不过用“数量级”更直观一点）

［理论细节3: 等效独立增伤的boss战收益］

同样的，假设使用增伤技能后boss的击杀时间为 u, 使用前为 v。独立增伤S％

H = M = C * v+ D* v^2 = (1+ S%) (C* u + D* u^2 )

变形：

（C * v+ D* v^2）／(C* u + D* u^2 ) ＝ （1+S％）

左右两边求极限：

1. 当 v－> \inf 时，

（v/u）^2 = 1+ S%

实际收益 ＝ v/u -1 = sqrt(1+S%)-1

2. 当 v-> 0 时，

v/u = 1+ S%

实际收益就是： S％

［理论细节4 ： 无情暴虐的收益］

无情暴虐有两个阶段：设第一阶段的时间为 t1， 总时间设为t。

不使用无情暴虐的时间为：u


0.7M = C* t1 + D*t1^2 (第一阶段)

0.3M ＝1.4（ C* (t-t1) + D* (t^2- t1^2) ）（第二阶段）

得到：

（0.7 ＋0.3/1.4）M ＝ C ＊t + D* t^2

不使用无情暴虐的时间为：

M = C*u + D*u^2

于是得到：

1/ （0.7+ 0.3/1.4） ＝ （C*u + D*u^2 ）／ （C ＊t + D* t^2）

同样的，

当u ->\inf ，


1/ （0.7+ 0.3/1.4）= (u/v)^2

实际收益 ＝ u/v -1 ＝ 1/sqrt(0.7+0.3/1.4)-1 = 4.583%


当u ->0 时，

1/ （0.7+ 0.3/1.4）= (u/v)


实际收益 ＝ u/v-1 = 1/ （0.7+ 0.3/1.4）-1 = 9.375%

[后记：关于“数量级”的一些其它应用]

在群怪AOE总量上（怪物数目）／怪物数目，还存在一些数量级，让我们清点一些吧。

一般AOE技能：劈地猛击，： 2次

血溅，静电充能（武僧）：3次

野蛮人，赛亚人符文－屠杀：3次 （单体触发是2次，这是群体总量）

我提供，并由抱歉～完善的理论，赛亚人屠杀－－静电充能联动机制：5次 （一般其它职业的触发是4次函数）

可以说，“数量级”越高的技能，对怪物密度的利用越大！当然单体可能就有些虚了。你可以自己尝试解释这个现象。


数量级，还可以用来比较词缀收益，比如10ed 和 攻击速度的收益。不用复杂计算很简单就能说明10ed，和武器7攻击速度boss战的优劣。(2句话解释)

10ED 用我们的计算公式，boss击杀时间短的时候，10%， 击杀时间长的时候就是趋近于 4.88% = sqrt(1.1)。


7 攻击速度，由于boss血量固定，击杀所需次数给定，所以武器攻击速度的收益永远都是 7%。（翔龙机制不懂，具体不知，先除外）

是不是很简单？boss战时间一长，武器7攻击速度立马威猛， 基本没有必要用Excel 表格。


我先睡了，明后天再完善下。。。