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[心得分享] [丧心病狂]“数量级”与“受罚者之灾”（不断完善ing）

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JustinFan

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电梯直达

1^#

发表于 2015-10-13 13:24:21 |只看该作者 |倒序浏览来自：美国

本帖最后由 JustinFan 于 2015-10-14 08:21 编辑

【目录】

1楼：伸手党请看结论汇总（不需要数学基础）

2楼：理论党请看“数量级”与具体计算细节（一点点高等数学）

3楼：丧心病狂党请看：“精确”证明，当boss时间趋近于无限，前后两层boss击杀时间比趋近于1.0817。（有一点难度的数学分析内容。）

［前言］
最近有人问已知某层boss击杀时间，“估算”下一层boss或者下下层boss的击杀时间之类的问题。想要做到“估算”，那么要求的数据就不能太多，而且要做到尽量的精准。

通过对“总输出函数和大秘境某层boss击杀时间数列极限”的研究，可以做到：

在不知道几乎任何队友数据的情况下，DPS，buff，build，宝石，精确估算下一层秘境boss的击杀时间，且不需要Execl 表格繁琐计算。

精确的含义在于，越是高层秘境比如单人70层＋，多人75层＋，越是精确。

研究反映了佩戴“受罚者之灾”导致总输出函数2次的本质。后续的诸多结果，也都是由此“本质”推演而出。

［伸手党结论（理论研究党直接翻阅至二楼，过程比结论重要）］

1. Boss击杀时间估算：已知你某高层boss击杀时间是 N秒，那么下一层同样boss，你的击杀时间将会是 1.0817*N秒。
例子：比如你70层boss的击杀时间是，1分40s＝100s，那么下一层71层你的击杀时间将至少是108s。72层你的击杀时间就是 1.0817^2 * 100 = 117s.

以上估算结论，适用于几乎任何组队配置，包括未来可能的组队配置，核电，锤子等等，完全适用。感兴趣的话了，你可以自己实测验证。

2. 单刷时，随时间不变的独立增伤技能（非攻击速度相关）宝石收益（如果记录为 S％），将会随着boss击杀时间的延长而降低。最终收益将会变成 sqrt(1+ S%)-1.

例子1: 35％独立增伤的囚者宝石，在boss战时候100s以上的收益接近于：sqrt(1+35%)-1 = 16.7%

例子2: （如此计算同样适用于，蛮子残酷，dh先发制人的收益）

蛮子残酷的等效收益是 9.375%，那么在boss战使用时，最终受益将会变成 sqrt(1+9.375%)-1 = 4.583%

注明：虽然残酷的描述是30血量增伤40%，如果换成全程增伤 9.375%，那么，结果仍然一致，这是令人惊讶的。（如果dh和蛮子组队，蛮子带残酷，dh带先发，那么两者最后的收益都要略高于sqrt(1+ S%)-1）

以上计算均通用于全职业。简单快捷。

【后记】

其实起名丧心病狂，嗯来源于三楼最后的那个证明，一直没敢post出来。。。确实可能对于大众丧心病狂了点。。。不过，也许这就是数学的魅力吧。能在烦杂中找到那个不变量。。。

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JustinFan

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［理论细节－“数量级”与受罚者之灾］

本帖最后由 JustinFan 于 2015-10-14 04:08 编辑

【前言：伸手党的结论我明天再放】

本文回答了大家最为关心的如下问题（基本适用于全职业）：

1. 已知第n层大秘境boss击杀时间，较为精确的估算第n＋m层boss击杀时间。（组队，个人均适用）

2. 时间不变增伤技能的实际收益计算。［0，＋\inf］

3. （野蛮人）无情暴虐的实际收益计算。［0，＋\inf］

利用“数量级”计算的优势：

1. 简单快捷，计算及其方便，亲民，无需知道，队友以及自己的诸多数据。

2. 精度有保障。

3. 对于收益的描述清晰易懂，方便计算冲榜极限层数。

4. 对今后关于受罚者的联动收益计算有较大的指导意义。

5. 可以从一定程度上替代繁琐的Excel表格计算。
More Important, 我希望有更多的人能参与到研究中来，其实暗黑中的数学，没有那么复杂。相信“大道至简”。所以文章的风格偏向于“授人以渔”，毕竟我时间也不是很多，后期之秀们，肯定能将哈山继续发扬广大，带上巅峰。
文章如有谬误，恳请批评指正。

【结论汇总】

1. 个人或者组队（组队dps佩戴受罚者，其余成员无要求）的前提下，大秘境高层，第N＋1层boss的击杀时间接近于第N层的 1.08167 = sqrt(1.17).

注明1：以上比例，随着大秘境boss血量的增加单调递减从 1.17 单调递减趋近于 1.08167.

2. 个人冲榜模式，时间不变的增伤技能（设其等效独立增伤为 S％），其在高层boss战时的收益趋近于 sqrt(1+S%) -1.

注明2: 比如35%增伤的囚者对于旋风流在70层＋大秘境的收益为 16.2%。介于囚者前期覆盖率的问题，囚者在2.3赛季已被旋风流淘汰。

注明2: 等效独立增伤的收益，随着大秘境boss血量增加，单调递减，从S％趋近于 sqrt(1+S%) -1。

3. 个人冲榜模式，无情暴虐的收益，在高层boss战中，收益接近于：1/sqrt(0.7+0.3/1.4)-1 = 4.583%

注明3: 无情暴虐的收益，随着大秘境boss血量的增加，单调递减，从 1/(0.7+0.3/1.4) = 9.375% 趋近于 4.583%
注明4: 我很久以前算的那个结果是错的。。忽略就行了。

［理论阐述与介绍］

（我将尽量避免使用专业术语）
暗黑3中，有很多数量级。比如：大秘境boss血量的增长，是1.17倍，指数型增长。佩戴第四赛季受罚者之灾，对于大秘境boss的秒伤害是线性增加，总伤害是2次函数。
数量级用于描述函数在变量趋于无穷大，或者趋近于0的性质。比如函数：f(t) = t + t^2,  你可以设想f(t) 就是在t时间内的总输出。当t趋近于0，函数的性质趋近于 f(t) ~ t, 当 t 趋近于无穷大， f(t) ~ t^2.

第四赛季宝石的总输出是关于时间的二次函数，可以通过“数量级”来“估算”一些相关结果，而同时保证一定的精度。你根本不需要去统计队友的dps，队友的攻击方式。

注明：误差函数实际上跟队伍中诸多数据有关。当然计算实际误差的最好方式，其实还是掐表多次统计计算。实际意义不是很大。

［理论细节1: 关于“连续化”建模的假设］

暗黑三中的人物输出，其实是分段“根据使用技能的帧数”式的输出。受罚者之灾的增加伤害，也是攻击一次，增加一次（准确说是：ICD判定机制）。从这个角度看，秒输出函数其实是一个阶梯函数（不连续）。总输出函数，就是这个阶梯函数下方的面积。

想要计算这个面积，你可以尝试用Excel表格，精确到帧数的计算得到。但过程相当繁琐，尤其是对于组队，有的人用宝石有的人不用，相互之间的dps差异等等，都不清楚。要想做到对总输出函数的精确描述，那是非常困难和复杂的。（杀鸡为何费牛刀？）

阶梯函数下方的面积事实上，可以用线性函数的积分逼近。而这种逼近，就是Riemann积分定理的本质：当划分足够细致，上下和的差距（误差）趋近于“0”。事实上，我们的计算之少都是1分钟以上boss战，这种分段都是上百个分段。用线性函数描述dps变化是合理的。

［理论细节2: 关于“估算”大秘境boss的击杀时间］

“估算”这是一门艺术，估计，其实就是一个数学建模拟合的过程。一个数学模型好不好，不完全在于拟合的是否精确，而在于，其拟合的方式，有理有据，通俗易懂，便于计算。数学的本质也正是一种“大道至简”。

假设队伍里有 4个成员，初始DPS 分别为：A_1,..., A_4, DPS 时间增长率，K_1,..., K_4. （K_i 可以为0，代表不佩戴受罚者）

第 i 个人的总输出：t * (A_i + A_i*K_i * t / 2 ) =  A_i * t + A_i*K_i /2 * t^2

所有人的总输出 H(t)，为以上求和：

H(t) = C * t + D* t^2

其中： C= sum A_i , D = sum A_i * K_i /2

可以见得，C 和D 之中，包含了队伍里相当多的人物信息。

假设第 n 层大秘境的boss血量为：M(n),  团队击杀时间为 t_n

我们有：

M(n) = H (t_n)

进而得到：

1.17 = M(n+1)/ M(n) = H(t_{n+1}) / H(t_n) = (C * t_n+1 + D* (t_n+1)^2 ) / (C * t_n + D* (t_n)^2)

现在计算 t_n+1 / t_n (代表前后两层boss击杀时间的比例):

当t_n -> \inf 时，左右两边求极限

LHS ＝ 1.17 ＝ (t_n+1 / t_n )^2 = RHS

得到：lim t_n+1 / t_n ＝sqrt（1.17）

当t_n -> 0 时候，左右两边求极限

LHS ＝ 1.17 ＝ (t_n+1 / t_n )= RHS

得到：lim t_n+1 / t_n ＝1.17

（你可以利用L'Hospital法则计算，不过用“数量级”更直观一点）

［理论细节3: 等效独立增伤的boss战收益］

同样的，假设使用增伤技能后boss的击杀时间为 u, 使用前为 v。独立增伤S％

H = M = C * v+ D* v^2 = (1+ S%) (C* u + D* u^2 )

变形：

（C * v+ D* v^2）／(C* u + D* u^2 ) ＝（1+S％）

左右两边求极限：

1. 当 v－> \inf 时，

（v/u）^2 = 1+ S%

实际收益＝ v/u -1 = sqrt(1+S%)-1

2. 当 v-> 0 时，

v/u = 1+ S%

实际收益就是： S％

［理论细节4 ：无情暴虐的收益］

无情暴虐有两个阶段：设第一阶段的时间为 t1，总时间设为t。

不使用无情暴虐的时间为：u

0.7M = C* t1 + D*t1^2 (第一阶段)

0.3M ＝1.4（ C* (t-t1) + D* (t^2- t1^2) ）（第二阶段）

得到：

（0.7 ＋0.3/1.4）M ＝ C ＊t + D* t^2

不使用无情暴虐的时间为：

M = C*u + D*u^2

于是得到：

1/ （0.7+ 0.3/1.4）＝（C*u + D*u^2 ）／（C ＊t + D* t^2）

同样的，

当u ->\inf ，

1/ （0.7+ 0.3/1.4）= (u/v)^2

实际收益＝ u/v -1 ＝ 1/sqrt(0.7+0.3/1.4)-1 = 4.583%

当u ->0 时，

1/ （0.7+ 0.3/1.4）= (u/v)

实际收益＝ u/v-1 = 1/ （0.7+ 0.3/1.4）-1 = 9.375%

[后记：关于“数量级”的一些其它应用]

在群怪AOE总量上（怪物数目）／怪物数目，还存在一些数量级，让我们清点一些吧。

一般AOE技能：劈地猛击，： 2次

血溅，静电充能（武僧）：3次

野蛮人，赛亚人符文－屠杀：3次（单体触发是2次，这是群体总量）

我提供，并由抱歉～完善的理论，赛亚人屠杀－－静电充能联动机制：5次（一般其它职业的触发是4次函数）

可以说，“数量级”越高的技能，对怪物密度的利用越大！当然单体可能就有些虚了。你可以自己尝试解释这个现象。

数量级，还可以用来比较词缀收益，比如10ed 和攻击速度的收益。不用复杂计算很简单就能说明10ed，和武器7攻击速度boss战的优劣。(2句话解释)

10ED 用我们的计算公式，boss击杀时间短的时候，10%，击杀时间长的时候就是趋近于 4.88% = sqrt(1.1)。

7 攻击速度，由于boss血量固定，击杀所需次数给定，所以武器攻击速度的收益永远都是 7%。（翔龙机制不懂，具体不知，先除外）

是不是很简单？boss战时间一长，武器7攻击速度立马威猛，基本没有必要用Excel 表格。

我先睡了，明后天再完善下。。。

发表于 2015-10-14 04:07:14 |只看该作者来自：美国

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JustinFan

帖子：14672

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丧心病狂的证明。。。English Version

本帖最后由 JustinFan 于 2015-10-14 11:52 编辑

擦，用英文的原因在于，写起来方便。。。
我分成了三页纸，照了像。。。有兴趣的同志可以看下。。。

我用了超长的“精确”证明说的就是要说一件事：相信我，这个极限，不管你什么build，怎么个打法，就是 1.0817 ＝ sqrt（1.17）.

发表于 2015-10-14 08:18:45 |只看该作者来自：美国

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Makise_Kurisu

帖子：1245

符文：1182

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本帖最后由 Makise_Kurisu 于 2015-10-14 11:12 编辑

大概看了下 = = 我觉得没必要写这么多，把人都吓走了~ 这个图像还是蛮清晰的，

新宝石让瞬时秒伤随时间均匀增大，只要假设战斗时间够长（结束时秒伤远大于初始秒伤），那么很显然，平均秒伤就和战斗时间正比，总输出就和战斗时间的平方正比。换句话说，输出时间变为 2 倍，能造成的伤害扩大 4 倍；反过来说，你需要造成的伤害变为原来的 (1 + 17%)（这是秘境高一层的血量提升），那么你需要的时间只是 (1 + 17%) 的平方根。