[攻略] 从缺失的0.01%CDR说起——暗黑3和计算机中的浮点数

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发表于 2018-3-3 18:31:22 |显示全部楼层

本文引用来源Wikimedia，按 CC BY-NC-SA 4.0 协议发布。

早在2017年11月的时候，琉璃曾经提出过一个五喵十球的数学问题，发现游戏中面板显示的冷却时间缩短%经常略小于理论计算的结果，可能导致死亡之地存在微小断档，无法全程覆盖。

举例来说，2条10%冷却时间缩短词缀在面板显示为18.99%，而非计算器得出的19%，甚至1条7%词缀在面板都会显示为6.99%……

在座的普罗陀思奥数学家，红黑、沙耶、铜月、阿狸等一致认为暴雪程序员使用了冥王星数学，不然则是琉璃本子妖偷走了重要的0.01%冷却。

进一步的观测发现，攻速、闪避、伤害减免、控场减免等多种人物面板属性也存在类似的现象。

对此本人立即指出，问题在于暗黑3使用浮点数进行小数运算。

简单来说，就是0.1并不是0.1，0.9也不是0.9。

我们用最通俗的语言来说明（计算机编程相关专业人士可直接跳过）。

十进制中，1/3是无限循环小数，写作 1/3=0.33333333333333333333333…

空间足够的情况下，3可以一直写下去。如果只允许保留10位有效数字，那么只能近似写作 1/3≈0.3333333333

科学记数法中记为 3.333333333 × 10^(-1)

这样，第11位及以后的精度就丢失了。使用此近似值进行运算，将无法得到精确结果。

同样，计算机使用二进位制进行计算，并且计算机数据存储单元是有限位的。

在二进制中，十进制0.1是无限循环小数，写作 0.000110011001100110011001100110011001100……

保留24位有效数字，记为 110011001100110011001101 × 2^(-4)

再将此近似表达的0.1换算回十进制，则得到 0.100000001490116119384765625

这样，第9位及以后的精度就丢失了。

类似0.1，0.2, 0.3, 0.4, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9等都无法在二进制中表达为有限小数。

由于表达和计算过程中丢失了精度，计算结果与实数的数学运算存在偏差。

例如，0.2 + 0.8 = 2.00000002980232238769531 × 2^(-1) + 8.00000011920928955078125 × 2^(-1) = 1.00000001490116119384765 × 2^0

以计算机科学语言描述即是：

计算机中以形如 a = ± m × b^e 的方式近似表示实数，称为浮点数（floating-point number）。

类比科学记数法，± 是符号位（sign），以 + 或 - 表示正负；b是记数系统的底数（radix）或基数（base），在二进制中 b = 2；e是整数指数（exponent），表示2的幂次；

m是形如 d.ddd...ddd 的小数或分数（fraction），在正规化二进制浮点数中约定第一位d是1，小数点后每一位d都是0或1，规约化的小数又称为有效数（significant）；

小数位数p称为精度（precision），决定了浮点数占用数据单元的位数。

根据精度不同，目前定义有半精度浮点数（half, binary16）、单精度浮点数（single, binary32）、双精度浮点数（double, binary64）等多种数据类型。

半精度浮点数占用2字节（16位元），其中第1位存储符号，中间5位存储指数，后10位存储尾数；

单精度浮点数占用4字节（32位元），其中第1位存储符号，中间8位存储指数，后23位存储尾数；

双精度浮点数占用8字节（64位元），其中第1位存储符号，中间11位存储指数，后52位存储尾数；

由于约定了尾数首位是1，实际有效数位比存储位数要多1；因而在二进制下，半精度浮点数有效数位是11位，单精度浮点数有效数位是24位，双精度浮点数有效数位是53位；故这三种浮点数的十进制精度分别是3，7，11位十进制有效数字。

利用浮点进行运算，称为浮点计算。浮点加法和乘法不匹配结合律和分配律。

事实上，游戏中大多数的数据都是以浮点数、整型、布尔等计算机数据格式存储的。

目前已知，使用半精度浮点数存储的属性包括：击中回复生命，击杀回复生命

使用单精度浮点数存储的属性包括：攻击速度，技能冷却缩短，闪避，伤害减免，控场减免，怪物生命值

使用双精度浮点数存储的属性包括：人物伤害

所以，计算冷却和攻速等涉及阈值的属性时，最好进入游戏打开面板进行验证。

综上所述，本子秋全责。